Notación Exponencial (Científica y viceversa)

La notación científica es una forma de expresar números con muchas cifras, ya sea por ser muy grandes o muy pequeños, convirtiendo éstos en potencias de base 10, ya que resulta más fácil para nuestra mente, leer un exponente que estar contando cifras para hacernos una idea de la magnitud del número.

La notación exponencial o científica consiste en escribir un número a partir de un producto entre otros 2 números, uno llamado coeficiente y el otro, potencia de base 10, cuyo exponente es un número entero. El coeficiente debe cumplir con la condición de que sea mayor o igual a uno y menor que diez. C x 10n C= coeficiente (1 ≤ C <10). n= número entero positivo o negativo La principal ventaja de este tipo de notación, es que se simplifica la lectura, escritura y el trabajo algebráico de estos números. 

Cuando los científicos tenemos que escribir números muy grandes o muy pequeños, como por ejemplo 3000000000000000 (tres mil billones) o 0.000000000000003 (tres milésimas de billonésima) los científicos utilizamos la notación exponencial, por ejemplo:

1000 = 103 que se lee “diez a la tres”

0.001 = 10-3 que se lee “diez a la menos tres”

El exponente positivo es el número de ceros que suceden al 1 y el exponente negativo es la posición en que se encuentra el 1 detrás del punto. De esa manera, los números que hemos citado antes se escribirían: 

3000000000000000000     = 3×1015  que se lee “tres por diez a la quince”

0.0000000000000000003  = 3×10-15 que se lee “tres por diez a la menos quince”

¿Cómo hacemos para escribir un número en notación exponencial? 

 Se coloca un nº ≠ 0 a la izquierda del punto decimal: 4 300 000, 0 = 4,3 x 106 Para dejar expresado el número con un coeficiente mayor o igual a uno y menor que diez, se debe correr la coma 6 lugares a la IZQUIERDA, por lo que se lo multiplica por 10 con exponente +6 (indicando la cantidad de lugares que se corrió la coma a la izquierda). Se coloca un nº ≠ 0 a la izquierda del punto 0,000348 = 3,48 x 10-4

Si la coma se corre hacia la DERECHA el exponente “n” será NEGATIVO y su valor será igual a la cantidad de lugares que se corrió la coma para que 1 ≤ C <10. Si la coma se corre hacia la IZQUIERDA el exponente “n” será POSITIVO y su valor será igual a la cantidad de lugares que se corrió la coma para que 1 ≤ C <10. 

Cómo expresar un número en notación científica: Cómo pasar de decimal a notación científica

Ante todo debes tener claro que al pasar un número a notación científica, el valor del número no puede variar. Debe tener siempre el mismo valor.

Vamos a empezar viendo cómo pasar a notación científica los números grandes.

Por ejemplo, tenemos el siguiente número:

Si le ponemos una coma delante del 7 hemos hecho el número 10 veces más pequeño, o dicho de otra forma, lo hemos dividido entre 10:

Por tanto, no es el número que teníamos al principio ya que tiene un valor 10 veces menor.

Para no variar el valor del número, si hemos hecho el número 10 veces más pequeño, debemos multiplicarlo por 10 para mantener su valor:

Ahora sí tiene el mismo valor que al principio.

Si movemos la coma otro lugar hacia la izquierda, lo hacemos otras 10 veces más pequeño que antes, es decir, 100 veces en total, por lo que para mantener el valor, debemos multiplicar el número por 100 o lo que es lo mismo, por 10 elevado a 2:

Si movemos la coma hacia la izquierda otro lugar más, hemos hecho el número 1000 veces más pequeño en total y hay que multiplicarlo por 10 elevado a 3 para no variar su valor:

Por último moveremos la coma otro lugar más y multiplicaremos el número por 10 elevado a 4:

Finalmente hemos pasado el número de forma decimal a notación científica.

¿Cuántas veces hay que mover la coma?

Hay que mover la coma las veces necesarias para que el número que quede delante de la potencia de 10 sea mayor o igual que 1 o menor que 10, es decir, si la notación científica tiene esta forma:

El número a:

Por ejemplo, expresar el siguiente número en notación científica:

Movemos la coma 3 lugares hacia la izquierda para que el número sea 3,85… que es mayor que 1 y menor que 10. Como hemos movido la coma 3 lugares hacia la izquierda, lo multiplicamos por 10 elevado a 3:

Mover la coma hacia la izquierda equivale a hacer el número 10 veces más pequeño por cada lugar que se mueve. Si el número no tenía ninguna coma, mover la coma un lugar hacia la izquierda sería equivalente poner la coma detrás de la primera cifra.

Si te das cuenta, el exponente del 10 coincide con el número de veces que movemos la coma hacia la izquierda.

Vamos a ver ahora cómo pasar a notación científica los números pequeños.

Por ejemplo tenemos este número:

Si movemos la coma un lugar hacia al derecha, estamos haciendo el número 10 veces mayor:

Para que mantenga su valor original, lo debemos dividir entre 10, o lo que es lo mismo multiplicarlo por 10 elevado a -1:

Si movemos la coma otro lugar más hacia la derecha, hacemos el número 100 veces mayor con respecto a su valor original, por lo que para mantener su valor, debemos multiplicarlo por 10 elevado a -2:

Al igual que pasaba con los números grandes, hay que mover la coma las veces necesarias para que el número que quede delante de la potencia de 10 sea mayor o igual que 1 o menor que 10, por tanto, para dejarlo en notación científica, movemos la coma dos lugares más hacia la derecha, por lo que debemos multiplicar por 10 elevado a -4:

Vamos a ver otro ejemplo. Expresar en notación científica el siguiente número:

Movemos la coma 6 lugares hacia la derecha para que el número sea 2,35, que es mayor que 1 y menor que 10. Como hemos movido la coma 6 lugares hacia la derecha, lo multiplicamos por 10 elevado a -6:

Mover la coma hacia la derecha equivale a hacer el número 10 veces más grande por cada lugar que se mueve.

El exponente del 10 coincide con el número de veces que movemos la coma hacia la derecha, pero con signo negativo.

Para que lo recuerdes mejor, lo que hacemos con los números grandes cuando los pasamos a notación científica es que los hacemos cada vez más pequeños moviendo la coma hacia la izquierda y por tanto, debemos multiplicarlos por potencias de 10 con exponente positivo.

Con los números pequeños, los hacemos cada vez más grandes, moviendo la coma hacia la derecha y por tanto los debemos multiplicar por potencias de 10 con exponente negativo.

Cómo pasar de notación científica a decimal

Vamos a ver cómo pasar un número que está en notación científica a decimal con todas sus cifras.

En números grandes, donde el exponente del diez sea positivo, tenemos que mover la coma hacia la derecha tantas posiciones como marque el exponente que tenga el diez. Si no tenemos más lugares para mover la coma pero todavía nos faltan posiciones por mover, entonces habrá que añadir ceros por cada posición que nos queden.

Vamos a ver un ejemplo:

El exponente del diez es 4, por tanto tengo que mover la coma 4 posiciones hacia a derecha. En este caso, sólo puedo moverla 2 posiciones, ya que sólo tengo dos decimales, por tanto, añado dos ceros por las dos posiciones que me quedan por mover:

En números pequeños, donde el exponente del diez sea negativo, hay que mover la coma hacia la izquierda tantas posiciones como marque el exponente. Después de mover la coma el primer lugar hacia la izquierda, queda un cero seguido de la coma y detrás las cifras que teníamos en notación científica. Después, por cada lugar que falte, hay que añadir un cero a la izquierda, quedando en todo momento detrás de la coma.

Por ejemplo:

El exponente del diez es -5, por lo que tenemos que mover la coma 5 lugares hacia la izquierda. Al moverla el primer lugar me queda 0,327 y me quedan 4 lugares por mover. Por cada uno de esos lugares añado un cero a la izquierda, quedando todo detrás de la coma decimal: